Arbeitsintegrale

Ziehen wir ein Objekt mit einer konstanten Kraft $\overrightarrow{F}$ über eine kurze Wegstrecke $d\overrightarrow{r}$, leisten wir die Arbeit.

$$dW=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}$$

$$W={\int }_{\gamma }\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{\gamma }$$

Pfad $\gamma$

Pfad $\gamma$ als Kurve im Raum mit Parameter s $$\overrightarrow{r}(s)=\overrightarrow{\gamma }(s)=\left(\begin{array}{c}{\gamma }_x(s)\\ {\gamma }_y(s)\\ {\gamma }_z(s)\end{array}\right)$$

dW > 0*: Das Systen leistet Arbeit am Objekt

dW < 0: Das System bezieht Arbeit vom Objekt

Linienintegral

Die Summe vieler kleiner Arbeitsintegrale gibt einenen Linienintegral

$$W={\int }_{\gamma }\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}\approx \sum _{i=1}^4\overrightarrow{F}(r_j)\cdot ({\overrightarrow{r}}_{i+1}-{\overrightarrow{r}}_i)$$

Spezialfall - Kreis

$${\int }_{\gamma }\overrightarrow{U}\cdot d\overrightarrow{\gamma }=2\pi r|\overrightarrow{U}|$$

Mit Vektoren

import numpy as np
radius = 1

# X, Y, Z Vector
U = np.array([1,2,3])

kraft = 2 * pi * np.absolute(U) 
print (kraft)

Mit Vektorlänge

import numpy as np
radius = 1

# Absolute länge des Vektors
U = 3

kraft = 2 * np.pi * U
print (kraft)

Spezialfall - Rechteckige Schlaufe

$${\int }_{\lambda }\overrightarrow{U}\cdot d\overrightarrow{\lambda }=a{U}_1-a{U}_5$$

Mit Vektoren

import numpy as np
u1 = np.array([1,2,3])
u5 = np.array([5,2,3])

a = 1

result = a* np.absolute(u1)- a*np.absolute(u5)

print (result)

Mit Vektorlängen

import numpy as np
u1 = 5
u5 = 1

a = 1

result = a* u1- a*u5

print (result)