Inverse Matrizen

Die Inverse einer quadratischen Matrix A ist eine Matrix $$A^{-}1$$ für die gitlt: $$A\ast A^1=A^1\ast A=E$$

Beispiel

$$\left(\begin{array}{ccc}6& -2& 3\\ 23& -8& 12\\ -14& 5& 7\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{ccc}4& -1& 0\\ 7& 0& 3\\ -3& 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}6\ast 4+(-2)\ast 7+3\ast (-3)& 6\ast (-1)+(-2)\ast 0+3\ast 2& 6\ast 0+(-2)\ast 3+3\ast 2& \\ 23\ast 4+(-8)\ast 7+3\ast (-3)& 23\ast (-1)+(-8\ast 0)6& -2& 3\\ 23& -8& 12& \\ -14& 5& 7& \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

Inverse einer 2 x 2 Matrix

Eine 2x2 Matriz hat genau dann einen Kehrwert, wenn folgendes gilt: $$ad-bc\ne 0$$

$${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-}1=\frac{1}{ad-bc}\ast \left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

## Satz Gegeben ist ein LGS $$A\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{(}c)$$ mit n x n Koeffizientenmatrix A

1

A ist invertierbar

2

Immer lösbar $$A\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{c}$$

3

$$rg(A)=n$$

Homogenes LGS

Ein LGS ist homogen, wenn die rechte Seite = $$\overrightarrow{0}$$ ist

Satz

Wenn A invertierbar ist, so hat das homogen LGS $$A\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$$

die eindutige Lösung ist.

Gauss-Jordan-Verfahren zur Berechnung der Inversen

Um die Inverse einer Matrix A zu bestimmen, müssen wir die MAtrixgleichung $$A\cdot X=E$$lösen.

### Beispiel

$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& -1& 0\\ 0& 2& 1\\ 3& -5& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4& -1& 0\\ 0& 2& 1\\ 3& -5& -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}{x}_{11}& x_{12}& x_{13}\\ x_{21}& x_{22}& x_{23}\\ x_{31}& x_{32}& x_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_0& x_0\\ x_0& x_1& x_0\\ x_0& x_0& x_1\end{array}\right)$$