Zusammenfassung

Ableiten

Wichtige Beispiele

$$f\to f^{\prime }$$

$$(\sin (2x){)}^{\prime }=2\cdot \cos (2x)$$

$$({\sin }^2(x))=2\cdot \sin x\cdot \cos x$$

Substitutionsregel

Wenn Produkt vonrhanden links -> rechts $${\int }_a^{b}f(\phi (x))\cdot {\phi }^{\prime }(x)dx={\int }_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(x)dx$$

Wenn kein Produkt vorhandne, rechts -> links $${\int }_{{\phi }^{-1}b}^{\phi -1a}f(\phi x)\cdot {\phi }^{\prime }(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx$$

Partielle Integration

Wenn keine (teilweise) Ableitung vorhanden ist

$$\int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int f^{\prime }(x)G(x)dx$$

Grenzwerte mit De L'Hospital

Wird verwendet um Grenzwerte der Form zu berechnen

$$\frac{f(x)}{x}$$

$$f,g:(a,b)\to \mathbb{R}(-\infty \le a\le b\le \infty )$$

$$g^{\prime }(x)\ne 0\forall x$$

$$\underset{x\to b}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=:c\in R$$

1. Regel (Oberer Intervalstrecke)

Aus $$\underset{x\to b}{\lim }f(x)=\underset{x\to b}{\lim }g(x)=0$$ oder $$\underset{x\to b}{\lim }f(x)=\underset{x\to b}{\lim }g(x)=\pm \infty$$

folgt $$\underset{x\to b}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=c$$

2. Regel (Untere Intevalstrecke)

Aus $$\underset{x\to a}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to a}{\lim }{g}^{\prime }(x)=0$$ oder $$\underset{x\to a}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to a}{\lim }{g}^{\prime }(x)=\pm \infty$$

folgt $$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g(x)}=c$$

Reihen

Potenzreihen

Entwicklungspunkt $$\sum _{k=0}^{\infty }(x-a{)}^k=a_0(x-a{)}^0+a_1(x-a{)}^1+a_n(x-a{)}^n$$

Taylorreihen

Eine beliebig oft differenzierbare Funktion und $$a\in I$$

$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(x-a{)}^k\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$$