Skalarwertige Funktionen mit mehreren Variablen
- Eine Funktion mit $$ unabhängigen Variablen $1, …, x) und einer abhängigen Variablen $$ versteht man eine Vorschrift, die jedem geordneten Zahlentupel ( $1, x_2, …, x)) aus einer Definitionsmenge $ \in \mathbb{R}^) genau ein Element $$ aus einer Wertemenge $mathbb{W} \in \mathbb{R}$ zuordnet. Symbolische Schreibweise:
$$ f: \mathbb{D} \in \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{W} \mathbb{R} (x_1,x_2,…,x_n) \mapsto y = f(x_1, x_2, …, x_n) $$
- Da das Ergebnis $ \in \mathbb{R}$ ein Skalar (eine Zahl) ist, redet man von einer skalarwertigen Funktion.
Partielle Ableitung
$$ z = f(x,y) = x^5 + x^7 $$
Beispiel
Gegen ist die folgende Funktion: $(x,y) = x^5 + y^). Soll diese nach x abgeleitet werden, dann entsteht nachstehendes. Da y als Zahl angesehen wird, fällt dieses weg. $$ \frac{ \partial f(x,y) }{ \partial x }
5x^4 $$
Definition
Für eine Funktion $: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit einer Variablen ist die Ableitung an der Stelle $) bekanntlich definiert als: $$ f’(x_0) = \lim\limits{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) }{ \Delta x } $$ Aus geometrischer Sicht entspricht dies der Steigung $ = f‘(x_0)$ der im Punkt $(x_0, f(x_0))$ angelegten Kurventangente $$ t(x) = f(x_0) + f‘(x_0)(x- x_0) $$
Python
from sympy import symbols, diff # Variablen in Funktion definieren x, y = symbols('x y', real=True) # Funktion definieren f = x**5 + x**7 print(diff(f, x))
An einer Stelle
$$ \frac{\partial f}{\partial x} (x, y)
x^2 - x\cdot y^2 + \frac{1}{2} \cdot y^3 + 10 $$
from sympy import symbols, diff # Variablen in Funktion definieren x, y = symbols('x y', real=True) # Funktion definieren f = x**2 -x * y**2 + 1/2. * y**3 + 10 # Partielle ableitungen berechnen df_x = diff(f, x) df_y = diff(f, y) # An einer Stelle (-1, 1) print ("Partielle Ableitung nach x:", df_x) print ("Partielle Ableitung nach y:", df_y) x0 = -1 y0 = 1 df_x_eval = df_x.subs([ (x, x0), (y, y0) ]) df_y_eval = df_y.subs([ (x, x0), (y, y0) ]) print(f"An Stelle x={x0}, y={y0} = ({df_x_eval}, {df_y_eval})")